当前位置: 首页 > >

稳定性与李雅普诺夫

发布时间:

第四章 稳定性 与李雅普诺夫方法

4.稳定性与李雅普诺夫方法
? ? ? ? ?

4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

稳定性的几个问题
? ? ? ?

什么是系统的稳定性? 为什么要研究稳定性? 经典控制理论中稳定性的判别方法? 对于状态空间表达式如何判断稳定性?

4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义

θ

θ

*衡状态
?

系统的*衡状态 ? 所研究系统的齐次状态方程为 ? x ? f ( x, t ) ? x为n维状态矢量;f为与x同维的矢量函数,并且是x与时 间t的函数,一般为时变的非线性函数,如果不显函t,则 为定常非线性系统。 ? 若存在状态矢量xe,对所有时间t都能使f (xe,t) ≡ 0 ,称xe为 系统的*衡状态。
? x ? f ( x, t ) ? Ax 线性定常系统的*衡状态 ? *衡状态需要满足Axe ≡ 0 ? 当A为非奇异矩阵时,系统存在唯一的*衡状态xe=0; ? 当A为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个*衡状态。

?

?

非线性系统的*衡状态 ? 可以有一个或者多个

稳定性的基本概念
?稳定性是系统本身固有的,与输入无关。
经典理论中的稳定性 系统形式 定义 李雅普诺夫的稳定性

? x ? Ax

? x ? f (x)

如果系统在扰动作用下偏离的原来 如果系统从*衡状态临*的任 的*衡状态,在扰动消失后,系 一点出发的轨线总保持在 统能够以足够的准确度恢复到原 该*衡状态的临*,则称 来的*衡状态,则系统是稳定的, *衡状态是稳定的,否则 否则不稳定。 不稳定。 代数判据、奈氏判据、对数判据、 特征根判据 线性定常系统 李雅普诺夫第一法(间接法) 第二法(直接法) 多变量、非线性、时变

判别方法

适用范围

稳定性的几个定义
? ? ? ?

李雅普诺夫意义下的稳定 渐进稳定 大范围渐进稳定 不稳定

李雅普诺夫意义下的稳定性
如果系统对于任意选定的实数 ε > 0,都存在另一个实数 δ(ε,t0),使得, 当|| x0 - xe || ≤δ(ε, t0) 时,从任意 x0 出发的解都满足 || Φ (t; x0, t0) || ≤ ε,t0≤t≤∞ 则称*衡状态 xe 为李雅普诺夫意义下稳定。 如果 δ 与 ε 无关,则称这种*衡状态是一致稳定的。
说明: ?S(ε) --定义一个以*衡状态为中心半径为ε的邻域, 系统的运动状态保持在该邻域内; ?S(δ ) --定义一个以*衡状态为中心半径为δ的邻域, 为了满足系统的运动状态保持在S(ε) 内,系统的初始 状态应该在S(δ ) 内。
δ xe x0 S(ε) S(δ) ε

渐进稳定
xe

δ x0

ε S(ε) S(δ)

如果*衡状态 x e 是稳定的,且当 t 无限增长时,轨线不仅不超出

? (? ) ,而且最终收敛于 xe ,则称这种*衡状态 xe 渐进稳定。渐进
稳定等价于工程意义上的稳定性。

? 严格的数学描述: x e 是动力学系统 x ? f ( x, t ) 的一个*衡状
态,如果它是稳定的,且从充分靠* x e 的任意初始状态出发的运动 轨迹 lim x ? xe ? 0 , 则此系统的*衡状态 x e 是渐进稳定的。 如果 ?
t ??

与初始时刻 t 0 无关,则称*衡状态 x e 为一致渐进稳定。

大范围渐进稳定
如果*衡状态 x e 是渐进稳定的,并且从状态空间中所有 初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性, 即,lim x ? xe ? 0
t ??

对所有初始点都成立, 则称这种*衡状态 x e 大范围渐进稳定。 大范围渐进稳定的必要条件是在整个状态空间只有一个*衡 状态。对于线性系统来说,如果*衡状态是渐进稳定的,则必 然是大范围渐进稳定的。对于非线性系统,使 x e 为*衡状态 的球域 s(? ) 一般不大,常称这种*衡状态为小范围渐进稳 定。

不稳定
如果对于某个实数 ? >0 和任一实数 ? ,不管 ? 这个实数多么 小,由 s(? ) 内出发的状态轨线,至少有一个超出 s(? ) ,则称 这种*衡状态 x e 不稳定。

δ xe x0

ε S(ε) S(δ)

δ xe x0

ε xe S(ε) S(δ)

δ x0

ε xe S(ε) S(δ)

δ x0

ε S(ε) S(δ)

稳定

渐进稳定

不稳定

分析下列系统的稳定性

小范围(局部)

大范围(全局)

稳定性

渐进稳定性

不稳定性

表面有摩擦

李雅普诺夫稳定性判别方法
?

第一法(间接法):先求解系统的微分方程,然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。 第二法(直接法):构造李雅普诺夫函数,根据这 个函数的性质判断系统的稳定性。--适用与任何 复杂系统

?

4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
?

线性定常系统
线性定常系统

? x ? Ax ? bu y ? cx
*衡状态 xe=0 渐进稳定的充要条件是矩阵 A 的所有特征值均 具有负实部。 如果系统对于有界输入 u 引起的输出 y 是有界的, 则称系统输 出稳定。 线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数:

W ( s ) ? c ?sI ? A? b
?1

的极点全部位于 s 的右半*面。
提问:有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况? 有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况?

?

非线性系统

? x ? f (x)

xe为*衡状态,f(x,t)为与x同维的矢量函数,且对x 具有连续的偏导数。 将非线性矢量函数f(x,t)在xe邻域内展开为泰勒级数 ?f ? x? ( x ? xe ) ? R( x) x 其中R(x)为级数展开式中的髙阶导数项。 若令 ?x ? x ? xe 则可以得到系统的线性化方程
?f A? ?x

? ?x ? A?x

x ? xe

在线性*似的基础上,用线性系统稳定性的判别定理。

A的所有特征值都有负实部

系统渐进稳定

A的特征根中至少有一个具有正实部 A的特征值都有非正实部

系统不稳定
?需要根据舍弃的髙

阶项再分析 ?采用李雅普诺夫第 二法

举例:用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性

? ? x1 ? x1 ? x1 x2 ? ? ? x2 ? ? x2 ? x1 x2 第一步:令 x1 ? 0, x2 ? 0 ? ?

求得系统的*衡状态 x1e ? (0,0) 第二步:将系统在*衡状态x1e附*线性化

T

, x1e ? (1,1)T

?f A? ?x

x ? x1 e

? ?f1 ? ?x ?? 1 ? ?f 2 ? ?x1 ?

?f1 ? ?x2 ? ? ?f 2 ? ?x2 ? x??0 ?

?1 0 ? ?? 0 ? 1? ? ?
0 ?T

求*似线性系统的特征根:-1,+1, 所以系统在*衡状态x1e不稳定
第三步:将系统在*衡状态x2e附*线性化

?f A? ?x

x ? x2 e

?0 ? 1? ?? 1 0? ? ?

求*似线性系统的特征根:-j,+j,实部为0;所以系统在*衡状 态x2e的稳定性用线性化方程无法判断。

课堂练*:用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性

? x1 ? ? x1 ? x2 ? x2 2 ?? ? ? x2 ? ?2 x2 ? x14 ??
第一步:令

? ? x1 ? 0, x2 ? 0 x1 ? 0, x2 ? 0

求得系统唯一的*衡状态

第二步:将系统在*衡状态附*线性化

?f A? ?x

x ? xe

? ?f1 ? ?x ?? 1 ? ?f 2 ? ?x1 ?

?f1 ? ?x2 ? ? ?f 2 ? ?x2 ? x??0 ?

? ? 1 1 ? 2 x2 ? ?? 3 4 x1 ? 2 ? x??0 ? ?
0 ?T

0 ?T

?? 1 1 ? ?? 0 ? 2? ? ?

第三步:求*似线性系统的特征根:-1,-2 所以系统在*衡点渐进稳定。

4.3 李雅普诺夫第二法(直接法)
基本思路:
?一个系统被激励后,其储存的能量随着时间的推移逐渐 衰减,当能量最小时,达到*衡状态,那么这个*衡状 态是渐进稳定的。 ?反之,如果系统不断从外界吸收能量,存储能量的能量 越来越大,那么这个*衡状态就是不稳定的。 李雅普诺夫函数:

?一个正定的标量函数V(x)
?虚拟的广义能量函数 ?根据dV(x)/dt的符号(能量的变换规律)判断系统的稳 定性,

4.3.1预备知识 1.标量函数的符号性质
?

设V(x)为n维矢量x所定义的标量函数, x ? Ω ,且在x=0处, 恒有V(x)=0。对于所有在域 Ω 中的任何非零矢量x,如果:
?
?

?
?

?

1)V(x) > 0,则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22; 2)V(x) ≥ 0,则称V(x)为半正定(或非负定)。例如 V(x)=(x1 +x2)2; 3)V(x) < 0,则称V(x)为负定。例如V(x)=-(x12 +2x22); 4)V(x) ≤ 0,则称V(x)为半负定(或非正定)。例如 V(x)= -(x1 +x2)2; 5)V(x) > 0或者V(x) < 0,则称V(x)为不定的。例如 V(x)=x1 +x2;

2.二次型标量函数
设x1,x2,… ,xn为n个变量,定义二次型标量函数为
V ( x ) ? x Px ? ?x1
T

x2

? p11 ?p ? xn ?? 21 ? ? ? ? p n1

p12 ? p22 ? pn 2

p1n ?? x1 ? ?? x ? ? p2 n ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? pnn ?? xn ? ? ?

如果pij=pji,则称P为实对称阵。

二次型函数的标准型
对于二次型函数,V ( x ) ? x T Px 若P为实对称阵,则必 存在正交矩阵T,通过变换 x ? Tx ,使之化成
V ( x ) ? x T Px ? (Tx ) T PTx ? x TT T PTx ? x T (T T PT ) x

P ? T T PT

??1 ? ?2 T? V ( x) ? x ? ? ?0

0? ? ?x ? ?n ? ?

上式,为二次型函数的标准型。它只包含变量的*方项,其中 ?i 为对称阵P的互异特征值,且均为实数。 ?二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值

?i 均大于零。

矩阵P的符号性质
?

设P为n×n的实对称阵,V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函 数。 ? 1)若V(x)正定,则P正定,记做P > 0; ? 2)若V(x)负定,则P负定,记做P < 0; ? 3)若V(x)半正定(非负定),则P半正定(非负定), 记做P ≥ 0; ? 4)若V(x)半负定(非正定),则P半负定(非正定), 记做P ≤ 0;

?

矩阵P的符号性质与它所定义的二次型函数V(x)的符号性质 完全一致。因此判断V(x)的符号只要判断P的符号即可(希 尔维斯特判据,Sylvester)。

3.希尔维斯特判据
设实对称矩阵

? p11 ?p P ? ? 21 ? ? ? ? p n1

p12 ? p22 ? pn 2

p1n ? ? p2 n ? ?, ? ? ? ? ? pnn ?

pij ? p ji

Δi (i ? 1,2,?, n) 为其各阶顺序主子行列式:

Δ1 ? p11 , Δ2 ?

p 11 p 21

p 12 p 22

,… , Δn ? P

矩阵 P(或 V(x))定号性的充要条件是: 1)若 Δi ? 0, i ? (1,2,?, n ) ,则 P(或 V(x))为正定;

?? 0, i为偶数 2)若 Δi ? ,则 P(或 V(x))为负定; ?? 0, i为奇数
?? 0, i ? (1,2,? , n ? 1) 3)若 Δi ? ,则 P(或 V(x))为半正 ?? 0, i ? n
定(非负定) ;

?? 0, i为偶数 ? 4)若 Δi ?? 0, i为奇数 ,则 P(或 V(x))为半负定(非正 ?? 0, i ? n ?
定) 。

4.3.2 稳定性判据
? 设系统的状态方程为 x ? f ( x ) ,*衡状态为 xe ? 0 ,满足 f ( xe ) ? 0 。
如果存在一个标量函数 V ( x ) ,它满足: 1) V ( x ) 对所有 x 都具有连续的一阶偏倒数; 2)V ( x ) 是正定的,即当 x ? 0 时,V ( x ) ? 0 ;当 x ? 0 时, V ( x ) ? 0 ;

? ( x ) ? dV ( x ) 李雅普诺夫第二法根据 V dt 稳定性

判断系统的

? ( x ) ? dV ( x ) ,分别满 3)V(x)沿状态轨迹方向的时间导数 V dt
足下列条件:

? (1)若 V ( x ) 为半负定,那么*衡状态 xe 在李雅普诺夫意义
下稳定。――稳定判据

? ? (2)若 V ( x ) 为负定,或者虽然 V ( x ) 半负定,但对任意初始 ? 状态 x(t0) ≠ 0 来说,除去 x = 0 外,x ≠ 0 时,V ( x ) 不恒为零。
那么*衡状态时渐进稳定的。――渐进稳定判据 进一步,如果当||x||→∞时,V(x) →∞,则系统是大范围渐 进稳定的。

? (3)若 V ( x ) 为正定,那么*衡状态 xe 是不稳定。――不稳
定判据

? ? 对渐进稳定中 V ( x ) 半负定的附加条件 V ( x ) 不恒为零进行说 ? ? 明,由于 V ( x ) 半负定,所以会出现 x ? 0 是,V ( x ) ? 0 ,分
两种情况:
x2

? (1) V ( x ) 恒等于零时,运动轨迹将落在某个
特定的曲面上 V (x ) ? C 上,不收敛于原点:非 线性系统――极限环;线性系统――临界稳定。

x0

xe

x1

? (2)V ( x ) 不恒等于零时,运动轨迹只在某个时
刻与特定曲面 V (x ) ? C 相切,运动轨迹通过切 点后并不停留而继续向原点收敛,因此系统仍然 渐进稳定。
x0

x2

xe

x1

4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论
(1)V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数,且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数;
(2)对于一个给定系统,如果 V(x)可以找到,那么通常是非 唯一的,这并不影响结论的一致性。
(3)V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x,其中 P 为 实对称方阵, 它的元素可以是定常的或时变的。 V(x)并不一 但 定都是简单的二次型。

(4)如果 V(x)为二次型,且可表示为:
2 2 V ( x ) ? x12 ? x2 ? ? ? xn ? ? xi2 ? x T x i ?1 n

? 则 V ( x ) 就表示从原点到 x 的距离, V ( x ) 表征了系统相
对原点运动的速度。

(5) V ( x ) 函数只表示系统在*衡状态附*某邻域内局部运 动的稳定情况,丝毫不能提供域外运动的任何信息。

(6)由于构造 V ( x ) 函数需要较多技巧,因此,李雅普诺夫 第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳 定性的问题。

4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
?

4.4.1 线性定常连续系统渐进稳定判据

李氏第一法,如何 判断?

命题4.1 矩阵 A ? Rn?n 的所有特征根均具有负实部,即

? ( A) ? C ? ,等价于存在对称矩阵 P ? 0 ,使得
证明 必要性证明 设对称矩阵 Q ? 0 令 P ? ? e
0 ? AT t

AT P ? PA ? 0

Q e At d t 显然 P ? 0
? AT t 0

A P ? PA ? A
T 0

T

?

?

0

e

AT t

Qe dt ? ? e
At

Q e At A d t

? ? (A e
T

?

ATt

Qe ? e
At At

ATt

Q e At A) d t
Qe
At ?? 0

P.61 矩阵指数函数的 性质五:微分

? ? d(e
0

?

ATt

Qe )

?e

AT t

A P ? PA ? e
T
T

AT t
?

Qe

At

?? 0

?e

AT ( ? )

Qe
t ??

A( ? )

?e

AT 0

Q e A0

根据 ? ( A) ? C ,则

lim e ? lim e
At t ??

AT t

?0

因此 A P ? PA ? ?Q ? 0 充分性证明: 因为A的特征根有可能是复数,不妨在复数域上讨论,在Cn 中定义新的内积 ? x, y ?? x T Py 则
?? ? ? (A) x ? 0为A的对应 ? 的特征向量,即 Ax ? ?x ? Ax, x ? ? ? x, Ax ?? x T AT Px ? x T PA x ? x T ( AT P ? PA) x ? ? x T (Q ) x ? 0

又存在 ? Ax, x ? ? ? x, Ax ??? ?x, x ? ? ? x, ?x ? ? ?x T Px ? x T P? x ? (? ? ? ) x T Px ? 2 Re( ? ) ? x T Px
T T 由于 2 Re(? ) ? x Px ? x (Q) x ? 0 ,所以 Re(? ) ? 0
? 即 ? ?C 。证毕。

线性定常连续系统稳定性判据
?

线性定常连续系统在*衡状态xe = 0全局渐进稳定 的充要条件:对于任意给定的正定实对称矩阵Q, 若存在正定的实对称矩阵P,满足李雅普诺夫方程:
AT P ? PA ? ?Q

则可取为 V ( x ) ? x T Px ,为系统的李雅普诺夫函数。
? V ( x ) ? x T PAx ? ( Ax)T Px ? x T ( PA ? AT P ) x

? 欲使系统在原点渐进稳定,则要求 V ( x ) 必须为负定
? V ( x ) ? ? x TQx 则,要求 Q ? ?( AT P ? PA) 为正定的。

判据应用注意事项
?

(1)判别过程
选取正定矩阵Q

带入李雅普诺夫方程,解矩阵P

根据希尔维斯特判据判定P的正定性

根据P的正定性,判定系统的稳定性

判据应用注意事项
?

(2)Q的选取:尽量简单,常取Q=I;
? (3)若 V ( x ) 沿任一轨迹不恒等于零,那么Q可取 半正定。

?

?

(4)上述判据所确定的条件与矩阵A的特征值具 有负实部的条件等价,因而判据是 充要条件。

李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例(1)
已知系统状态方程如下,试分析系统*衡点的稳定性。 1? ?0 ? x?? ?x ?? 2 ? 3? ? p11 p12 ? 解 设 P?? ? ,Q=I ? p21 p22 ? 带入李雅普诺夫方程 AT P ? PA ? ?Q
p12 ? ? 0 1? ?1 0? ? ? ? 2 ? 3? ? ? ?0 1? p22 ? ? ? ? ? ?5 ?4 将上式展开,对应元素相等,解得 P?? 1 5 1 ? ?4 5 根据希尔维斯特判据 Δ1 ? ? 0, Δ2 ? 4 4 ? 0 1 1 4 4 4 P是正定的,因而系统的*衡点是大范围渐进稳定。 ?0 ? 2? ? p11 ?1 ? 3? ? p ? ? ? 21 p12 ? ? p11 ? ? ?p p22 ? ? 21

1? 4? 1? ? 4?

李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例(2) 已知系统状态方程如下,试确定系统增益K的稳定范围。 1 0? ? 0 ? x ? ? 0 ? 2 1 ?x ? ? ? ? K 0 ? 1? ? ?
解 因detA≠0,故原点是系统唯一的*衡状态。 取半正定的实对称矩阵Q为 ?0 0 0? Q ? ?0 0 0? ? ? ?0 0 1 ? ? ? ? 为了说明Q选取的正确,需要证明 V ( x ) 沿任意轨迹 ? ( x ) ? ? x T Qx ? x 2 应不恒等于零。 V
3

? 显然 V ( x ) ? 0 的条件是 x3 ? 0 ,此时 x1 ? 0 , x2 ? 0 , ? 这表明只有在*衡状态 xe ? 0 ,才能保证 V ( x ) ? 0 , ? 而 V ( x ) 沿任一轨线不会恒等于零。

求解李雅普诺夫方程
?0 0 ? K ? ? p11 ?1 ? 2 0 ? ? p ? ? ? 21 ? 1 ? ? p31 ?0 1 ? ?? p12 p22 p32 p13 ? ? p11 p23 ? ? ? p21 ? ? p33 ? ? p31 ? ? p12 p22 p32 p13 ? ? 0 p23 ? ? 0 ?? p33 ? ? ? K ?? 0 ? ?1 0 0? ? 2 1 ? ? ? 0 1 0? ? ? ? 0 ? 1? ?0 0 1? ? ? ? 1

? K 2 ? 12 K ? 6K 0 ? ? 12 ? 2 K 12 ? 2 K ? 6K 3K K ? ? P?? ? 12 ? 2 K 12 ? 2 K 12 ? 2 K ? K 6K ? ? 0 ? 12 ? 2 K 12 ? 2 K ? ? ? 为使P为正定矩阵的充要条件是:

解得

12 – 2K > 0 和K > 0
即0 < K < 6 综合上述,当0 < K < 6系统在*衡状态原点大范围渐进稳定。

4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
第一法如何判断非线性系统的稳定性?

?

4.5.1 雅可比(Jacobian)矩阵法――克拉索夫斯基 (Krasovski)法
设非线性系统的状态方程为
? x ? f (x )

式中,x为n维状态矢量;f为与x同维的非线性矢量函数。
假设原点xe=0是*衡状态,f(x)对 xi (i ? 1,2,?, n) 可微,系统 的雅可比矩阵为: ?f1 ? ? ?f1 ?f1 ? ? ?x ?x ?xn ? 2 ? 1 ? ?f 2 ?f 2 ?f 2 ? ?f ? ? ? ? ?x1 ?x2 ?xn ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ?f n ?f n ?f n ? ? ? ? ?xn ? n?n ? ?x1 ?x2

则系统在原点渐进稳定的充要条件是:对于任意正定 实对称阵P,使下列矩阵 Q( x ) ? ?[ J ( x )T P ? PJ ( x )] 为正定的;并且
? ? V ( x ) ? x T Px ? f T ( x ) Pf ( x )

是系统的一个李雅普诺夫函数。 如果当 x ? ? 时,还有 V ( x ) ? ? ,则系统在xe=0是大 范围渐进稳定。

证明:选取二次型函数 ? ? V ( x ) ? x T Px ? f T ( x ) Pf ( x ) 为李雅普诺夫函数,其中P为对称正定矩阵,因而V (x ) 正定。 考虑到 f (x ) 是x的显函数,不是时间t的显函数,因而有下列 关系 d f ( x) ? ?f ( x ) d x ?f ( x ) ?f ( x ) ? ? f ( x) ? ? x? f ( x) ? J ( x) f ( x) dt ?x d t ?x ?x 将 V (x ) 沿状态轨迹对t求全导,可得 ? ? ? V ( x ) ? f T ( x ) Pf ( x ) ? f T ( x ) Pf ( x )
? f T ( x ) PJ ( x ) f ( x ) ? [ J ( x ) f ( x )]T Pf ( x ) ? f T ( x ) PJ ( x ) f ( x ) ? f T ( x ) J T ( x ) Pf ( x ) ? f T ( x )[ PJ ( x ) f ( x ) ? J T ( x ) P ] f ( x ) ? V ( x ) ? ? f T ( x )Q( x ) f ( x ) Q( x ) ? ?[ J T ( x ) P ? PJ ( x )]

? V ( x ) ? ? f T ( x )Q( x ) f ( x ) ? 上式表明,要使系统渐进稳定, V ( x ) 必须是负定的, 因此 Q (x ) 必须是正定的。
V 若 x ? ? 时, ( x ) ? ? ,则系统在原点是大范围渐进稳 定的。

? 推论 对于线性定常系统 x ? Ax ,若矩阵A非奇异,且矩阵 (AT+A)为负定,则系统的*衡状态xe=0是大范围渐进稳 定的。

李雅普诺夫方法判别非线性系统稳定性示例
设系统的状态方程如下,用克拉索夫斯基法分析xe=0出 的稳定性。 ? x1 ? ?3 x1 ? x 2
3 ? x 2 ? x1 ? x 2 ? x 2

解:计算雅可比矩阵

1 ? ?f ? ? 3 J ( x) ? ?? 2 ?x ? 1 ? 1 ? 3 x 2 ? ?

取P = I,得 2 ?? 6 ? T ? Q( x) ? J ( x) ? J ( x) ? ? 2 2 ? 2 ? 6 x2 ? ? ? 根据希尔维斯特判据,有 ?6 2 2 Δ1 ? 6 ? 0, Δ2 ? ? 8 ? 36 x2 ? 0 2 2 ? 2 ? 6 x2 表明对于x ≠ 0,Q(x)是正定的。*衡状态是稳定的 。

此外,当

x ? ? 时,

V ( x) ? f T ( x) f ( x) ? ( ?3x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ? x 2 ) 2 ? ?
3

因此,系统的*衡状态xe=0为大范围渐进稳定。

课堂练*:第二法判断线性系统的稳定性(1) 1 0? ?0 ? x ? ? 0 ? 2 1 ?x ? ? ?? 3 0 ? 1? ? ? ? p11 p12 p13 ? 1) 取 Q = I P ? ? p12 p22 p23 ? ? ? 2) 令对称矩阵 ? p13 p23 p33 ? ? ? 3)将Q、P带入李雅普诺夫方程 AT P ? PA ? ?Q 0? ?0 0 ? 3? ? p11 p12 p13 ? ? p11 p12 p13 ? ?0 1 ?1 ? 2 0 ? ? p p22 p23 ? ? ? p12 p22 p23 ? ?0 ? 2 1 ? ? ? I ? ? ? 12 ? ? ?? ? ?0 1 ? 1? ? p13 p23 p33 ? ? p13 p23 p33 ? ?3 0 ? 1? ? ?? ? ? ?? ? 4) 解得 ?65 25 1? 1? P的特征值为1.12, 10.55, 75.33 P ? ?25 14 5? ? 6 P正定 ? 1 5 8? ? ?

课堂练*:第二法判断线性系统的稳定性(2)
?0 1? ? x?? ?x ?? 1 ? 1?
?a c ? 1) 取Q=I 2) 令对称矩阵 P ? ? c b? ? ? 3)将Q、P带入李雅普诺夫方程 AT P ? PA ? ?Q ?0 ? 1? ?a c ? ?a c ? ? 0 1 ? ?? 1 0 ? ?1 ? 1? ? c b? ? ? c b? ?? 1 ? 1? ? ? 0 ? 1? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 4) 解得 a=1.5 b=1 c=0.5 ?1.5 0.5? P?? 0 .5 1 ? ? ? a)特征值 --特征方程? 5)判断P是否正定? b)各阶顺序主子式

课堂练*:第二法判断线性系统的稳定性(3)
1? ?0 ? x?? ?x ? ? 3 ? 4?
?a c ? 1) 取Q=I 2) 令对称矩阵 P ? ? c b? ? ? 3)将Q、P带入李雅普诺夫方程 AT P ? PA ? ?Q 1 ? ?? 1 0 ? ?0 ? 3 ? ? a c ? ? a c ? ? 0 ?1 ? 4? ? c b? ? ? c b ? ?? 3 ? 4? ? ? 0 ? 1? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 4) 解得 a=7/6 b=1/6 c=1/6 ?7 / 6 1 / 6 ? P?? 1 / 6 1 / 6? ? ? a)特征值 --特征方程? 5)判断P是否正定? b)各阶顺序主子式

课堂练*: 李雅普诺夫第二法判别非线性系统稳定性示练*(1) 分析下面系统的稳定性

? x1 ? ? x2 ? ax13 ?? ? ? x2 ? x1 ? ax2 3 ?? 1)确定系统*衡状态
? ? x1 ? 0 ? ? ? x2 ? 0

x1 ? 0, x2 ? 0

2)构造李雅普诺夫函数 1 2 2 V ( x ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 2 ? ( x ) ? 1 (2 x x ? 2 x x ) ? a( x 4 ? x 4 ) ? 0 ? ? V 1 1 2 2 1 2 2 3)结论:a<0时,渐进稳定

课堂练*:
李雅普诺夫第二法判别非线性系统稳定性示例(2) ? x1 ? x2 ? x1 ( x12 ? x2 2 ) ?? ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ( x12 ? x2 2 ) ??
? ? x1 ? 0 ? ? ? x2 ? 0
2

x1 ? 0, x2 ? 0

李雅普诺夫函数
V ( x ) ? x1 ? x2 ? 0
2 2 2 ? ? ? V ( x ) ? 2 x1 x1 ? 2 x2 x2 ? ?2( x1 ? x2 ) 2 ? 0

结论:渐进稳定




友情链接: